演習問題の解答
下記の資料を参考にしてください．
1. 確率
疾患の有無を\(B={0,1}\)，陽性/陰性反応を\(A={0,1}\)として，ベイスの定理を適用．解答は\(1/3\)．
2.
(a) \(E[X^k] = \int_0^{\infty} x^k e^{-x} dx = k!\)
(b) 確率分布関数\(F_Y(y)\)について，
\[F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(\sigma X + \mu \leq y) = P(X \leq \frac{y - \mu}{\sigma}) = F_X(\frac{y - \mu}{\sigma})\]だから，
\[f_Y(y) = \frac{d F_Y(y)}{dy} = \frac{d F_X(\frac{y - \mu}{\sigma})}{dx} \cdot \frac{dx}{dy} = f_X(\frac{y - \mu}{\sigma}) \cdot \frac{1} {\sigma}\]となる．よって，\(f_Y(y) = \frac{1}{\sigma} \exp \left( - \frac{x - \mu}{\sigma} \right)\)
3.
なし
4.
期待値の線形性を使えばよい．
\(\begin{align} \bar{X} &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \\ E[\bar{X}] &= E\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \right] \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E[ X_i ] \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mu \\ &= \mu \\ V[\bar{X}] &= V\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \right] \\ &= \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} V[ X_i ] \\ &= \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sigma^2 \\ &= \frac{\sigma^2}{n} \end{align}\)
5.
\(\sigma^2\)の対数尤度関数は，
\[\begin{align} \ell (\sigma^2 | X) &= \log \prod_{i=1}^{n} p(X_i) \\ &= \log \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left( -\frac{X_i^2}{2 \sigma^2} \right) \\ &= \log {(2 \pi \sigma^2)}^{- \frac{n}{2}} \exp \left( - \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i^2}{2 \sigma^2} \right) \\ &= - \frac{n}{2} \log 2 \pi \sigma^2 - \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i^2}{2 \sigma^2} \end{align}\]だから，これを\(\sigma^2\)に対して微分すると，
\[\frac{\partial \ell (\sigma^2 | X) }{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2 \sigma^2} + \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i^2}{2 \sigma^4}\]| よって，$$\frac{\partial \ell (\sigma^2 | X) }{\partial \sigma^2} = 0\(を解けば，\)\sigma^2\(の最尤推定量は，\)\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i^2}{n}$$ となる． |
6.
- 帰無仮説: W社の製造するワイン瓶の平均内容量は750mlである．
- 対立仮説: W社の製造するワイン瓶の平均内容量は750mlより少ない．
- 検定方式: 標本平均・標本不変分散を求めて，片側t検定を行う．